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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
$ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = 0 $
Factorizamos para resolver la ecuación, saco factor común
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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
l) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)$
l) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
Yo arrancaría haciendo la distributiva y reescribiendo esta función como:
$f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} $
(Esto lo hago sólo porque me parece que va a resultar más fácil trabajar con la función así!)
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} = -\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} = +\infty $
Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} $
Ojo ojo, antes de avanzar, mucho cuidado acá! Nos quedó un $x^{-\frac{1}{3}}$ por ahí... eso es $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$. Esa $x$ está en el denominador, por lo tanto el dominio de $f$ excluye a $x=0$. Pero $x=0$ si formaba parte del dominio de $f$, por lo tanto, como vimos en la clase, es un punto crítico.
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para ver si tenemos otros puntos críticos:
$ \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}}(2 - 5x) = 0 $
La única solución de esta ecuación es $x = \frac{2}{5}$, así que ahí tenemos otro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $0 < x < \frac{2}{5}$
c) $x > \frac{2}{5}$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $0 < x < \frac{2}{5}$,
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $x > \frac{2}{5}$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: